Matematikçiler her zaman kendi alanlarında mümkün olanın sınırlarını zorluyorlar. Asırlık problemleri çözmekten tamamen yeni matematiksel kavramları keşfetmeye kadar, sayılar, şekiller ve yapılar hakkındaki anlayışımızı genişletmeye devam ediyorlar. Kısa bir süre önce bir grup araştırmacı, 30 yılı aşkın bir süredir devam eden bir soruyu yanıtlayarak, herhangi bir sayıda boyutta var olan “sabit genişlikli şekiller” olarak bilinen geometrik nesneleri tanımladı. Gelin bu büyüleyici bulguyu ve ileride matematik için ne anlama gelebileceğini inceleyelim.
Sabit Genişlikli Şekillerin Kısa Tarihçesi
Şekillerin nasıl ölçüldüklerine bakılmaksızın sabit bir genişliği korudukları fikri ilk olarak Reuleaux üçgeniyle iki boyutta ortaya çıkmıştır. Adını 19. yüzyıldaki yaratıcısı Franz Reuleaux’dan alan bu eşkenar üçgen, aynı genişlikteki bir dairenin içinde yuvarlanmasını sağlayan kavisli kenarlara sahiptir. Üç boyutta, küreler açıkça sabit genişlik özelliğini yerine getirir. Ancak matematikçiler, bu özelliğe sahip küresel olmayan nesnelerin daha yüksek uzamsal boyutlarda var olup olamayacağını merak etmişlerdir.
1988 yılında ünlü matematikçi Oded Schramm, dört veya daha fazla boyutta kürelerden daha küçük sabit genişlikli hacimlerin mümkün olup olmadığı sorusunu ortaya attı. Schramm’ın bu sorusu, geçen yıl bir atılım yapılana kadar, otuz yılı aşkın bir süre boyunca bu tür şekilleri inşa etme girişimlerinin başarısızlıkla sonuçlanmasına neden oldu. Şimdi bu uzun süredir devam eden bulmacanın nihayet çözülmesini sağlayan kilit adımları inceleyelim.
Evreka Anı
Andrii Bondarenko, Andrii Prymak ve Andrii Arman’ın da aralarında bulunduğu matematikçilerden oluşan bir ekip, Schramm problemini çözmek için yeni yaklaşımlar geliştirmek üzere Manitoba Üniversitesi’nde her hafta toplanıyordu. Birçok tartışma ve çıkmazdan sonra, geriye dönüp bakıldığında neredeyse basit görünen dahiyane bir çözüme ulaştılar.
Araştırmacılar n boyutlu bir küreyi 2n eşit parçaya böldüler ve bu parçaları sabit genişliği koruyacak şekilde deforme etmenin her zaman mümkün olduğunu gösterirken, orijinal küresel alanın en fazla %90’ı kadar bir hacim elde ettiler. Kendilerini oluşturan parçaları, çevrelerini değiştirmeden matematiksel olarak esnetip sıkıştırarak, istenilen özelliğe sahip herhangi bir boyut için iyi tanımlanmış geometrik nesneler inşa ettiler. Sonunda, dört veya daha fazla boyutta kürelerden daha küçük sabit genişlikli formlar gerçekleştirilmişti!
Yüksek Boyutları Görselleştirme
Elbette, üçüncü boyutun ötesindeki şekilleri doğrudan görselleştirmek 3D beyinlerimiz için imkansızdır. Ancak bazı analojiler sezgi oluşturmaya yardımcı olabilir. Tıpkı bir daire veya kürenin merkezi bir yerden sabit bir uzaklıktaki tüm noktaların kümesi olması gibi, daha yüksek boyutlar için de aynı şey geçerlidir. Dahası, ekibin yapıları düşük boyutlu “gölgeler” veya kesitler göz önünde bulundurularak tasavvur edilebilir.
Örneğin, 3D nesnelerinin 2D görünümü bir Reuleaux üçgeni gibi görünür. Bir kürenin belirli açılardan nasıl daire olarak göründüğünü de düşünün – 3D’ye yansıtılan 4D şekli dikdörtgen görünebilir ama yine de anlaşılabilir. Boyut arttıkça yapılar giderek daha karmaşık hale gelirken, bu “gölge” tekniği formların kürelere kıyasla giderek azalan profillerini görmenin bir yolunu sunuyor.
Bu tesadüfi keşif, onlarca yıllık bir bilmeceyi yanıtlıyor ve yeni ufuklar açıyor. Kürelerin şekillendirilebilir parçalara ayrıştırılmasıyla, her boyut için toplardan daha küçük sabit genişlikte formlar tasarlandı. Her ne kadar algılanamaz olsalar da, “gölgeleri” garip yeni şekillere kısa süreli bakışlar sağlıyor. Yuvarlanma davranışı gibi özellikler daha derin gizemlere işaret ediyor ve matematiksel düşünen maceraperestlerin gelecekteki araştırmalarını motive ediyor.
Daha önce geçilmez kabul edilen caddelerdeki merakları takip ederek ne gibi büyüleyici gerçekliklerin ortaya çıkabileceğini kim bilebilir? Soyutlamanın içindeki zarafeti ve mucizeyi her zamankinden daha fazla ortaya çıkaran matematik, mümkün gördüklerimizi genişletmeye devam ediyor.
Yeni Keşfedilen Herhangi Bir Boyutta Sabit Genişliğe Sahip Şekiller Hakkında Sıkça Sorulan Bazı Sorular
Bu şekiller tam olarak nedir?
Hangi yönde ölçüldüklerine bakılmaksızın aynı genişliği koruyan geometrik nesnelerdir. 2B’de Reuleaux üçgeni, 3B’de dikdörtgen şeklini alır. 4 ve daha yüksek boyutlarda görsel olarak hayal edilemezler ancak matematiksel olarak tanımlanırlar.
Nasıl keşfedildiler?
Andrii Arman liderliğindeki bir matematikçi ekibi 1988’den beri açık olan bir problemi çözdü. Yüksek boyutlu bir küreyi, hacminin %90’ından daha azına sahip ancak aynı genişlikte bir şekil oluşturacak şekilde deforme etmenin her zaman mümkün olduğunu kanıtladılar.
Hangi özelliklere sahipler?
İlginç bir şekilde, yuvarlak olmamalarına rağmen, bu şekiller herhangi bir sayıda boyutta bir tekerlek gibi iki yüzey arasında sorunsuzca yuvarlanabilir. Boyutlar arttıkça hacimleri de kürelere kıyasla orantılı olarak küçülür.
Onları nasıl görselleştirebilirim?
4+ boyutları hayal etmek zordur, ancak bir hile şeklin 2D veya 3D siluetini düşünmektir. Ayrıca 3 boyutlu bir şeklin, altta yatan 4 boyutlu nesnenin “gölgesini” nasıl oluşturabileceğini de hayal edebilirsiniz.
Hangi uygulamalara veya kullanımlara sahip olabilirler?
Matematikçiler onları daha iyi anlamak için özelliklerini daha fazla inceleyeceklerdir. Potansiyel olarak fizik, geometri veya diğer alanlara ilişkin içgörüler sağlayabilirler. Yuvarlanma yetenekleri, daha düşük boyutlu analogları inşa edilebilirse yeni mühendislik uygulamalarına da ilham verebilir.
Onları anlamakta ne gibi zorluklar var?
Bu buluşla bile, çok yüksek boyutlardaki şekiller oldukça gizemli ve karmaşık olmaya devam ediyor. Onları tam olarak karakterize etmek ve sahip oldukları diğer ilginç özellikleri keşfetmek için daha fazla araştırmaya ihtiyaç vardır. Yüksek boyutluluğun sınırlarındaki davranışları hala tam olarak bilinmemektedir.
Kaynak
- New Scientist
- Arman, A., Bondarenko, A., Nazarov, F., Prymak, A., & Radchenko, D.V. (2024). Small volume bodies of constant width.
